Правильно ли я понимаю, что все 3 строчки выводимы в P? То есть, что
1) в P выводимо: "если доказуемо, что P непротиворечива, то P противоречива"
2) в P выводимо: "многочлен имеет корни <-> P противоречива"
и
3) в P выводимо: "доказуемо, что многочлен не имеет корней <-> доказуема непротиворечивость <-> теория P противоречива"
?
Я пытаюсь дополнить это до утверждения, что в P выводимо "теория P противоречива", и не вижу, где дырка. Примерно следующим образом:
4) если в P выводимо, что "многочлен имеет корни <-> P противоречива", то в P выводимо, что "многочлен имеет корни -> false". (Используя то обстоятельство, что противоречивая P должна позволить вывести false.)
5) Если в P выводимо, что "многочлен имеет корни -> false", то в P выводимо, что многочлен не имеет корней. (Используя то обстоятельство, что P имеет правила вывода классической логики.)
6) Сочетая 3) и 5), получаем, что (в P выводимо, что) P противоречива.
Re: резульаты
1) в P выводимо: "если доказуемо, что P непротиворечива, то P противоречива"
2) в P выводимо: "многочлен имеет корни <-> P противоречива"
и
3) в P выводимо: "доказуемо, что многочлен не имеет корней <-> доказуема непротиворечивость <-> теория P противоречива"
?
Я пытаюсь дополнить это до утверждения, что в P выводимо "теория P противоречива", и не вижу, где дырка. Примерно следующим образом:
4) если в P выводимо, что "многочлен имеет корни <-> P противоречива", то в P выводимо, что "многочлен имеет корни -> false". (Используя то обстоятельство, что противоречивая P должна позволить вывести false.)
5) Если в P выводимо, что "многочлен имеет корни -> false",
то в P выводимо, что многочлен не имеет корней. (Используя то обстоятельство, что P имеет правила вывода классической логики.)
6) Сочетая 3) и 5), получаем, что (в P выводимо, что) P противоречива.