пусть есть бесконечное (ну, или очень большое) множество. Возьмём точку x_1. Она либо соединена с бесконечным множеством, либо не соединена с бесконечным множеством. Оставим только это множество и возьмём x_2 в нём. Она тоже либо соединена с бесконечным множеством, либо нет, оставим только их и пр.

получается последовательность x_1 x_2 x_3... для которой x_i либо соединено со всеми следующими, либо не соединено со всеми следующими. Значит, все x_i делятся на два типа, и один тип бесконечный. Вот его и возьмём

(если кратко)