Спасибо, я когда-нибудь доберусь до Пенроуза. Пока что в связи с платонизмом я пытаюсь "осилить" Пуанкаре, которого прозелитически рекомендовал xaxam.

Я вполне допускаю платонизм, как возможность, агностически. Точно так же я вполне допускаю, что Господь Бог создал нас шесть тысяч лет назад. В великой милости Своей, Он не забыл понатыкать в землю достаточно костей динозавров и всего прочего, чтобы мы не могли судить о Его существовании через наблюдения, а свободно выбирали, верить ли в Него. Таким образом, сотворение мира - вопрос веры, не имеющий никаких практических или научных следствий. Следовательно, я не буду голосовать за государственную поддержку молитвенных учреждений, потому что я разделяю вопросы веры и рациональные вопросы государственного финансирования. Аргумент о Боге, как о Создателе всего сущего, меня тут не убедит. Точно так же идеалистический аргумент платоников о финансировании исследований в новых областях математики мне не кажется убедительным, так как он иррационален. Если, однако, платоники, пусть и движимые своими религиозными убеждениями, приведут хорошие рациональные аргументы, я буду рад голосовать за. Тут в обсуждении было немало таких аргументов.

Текст russhatter интересный (и та часть обсуждения, которую я понял, тоже), но его сравнение математических открытий с географическими декларативно, а не убедительно. На мой взгляд, у математики есть принципиальное отличие от географии. Географические факты не являются следствием постулатов, они существуют независимо, вне голов путешественников. Между Америками нет пролива, это нельзя было из чего-то вывести, "открыть" в математическом смысле. Если бы путешественники наоборот, нашли там пролив, это бы не противоречило никакой логике или предыдущим наблюдениям.

Легче сравнить математические открытия с "открытиями" новых фигур в игре Конвея "жизнь". Там тоже из простых правил получаются довольно сложные построения. Без компьютеров было бы очень трудно "открывать" фигуры, изменяющиеся периодически или, скажем, "стреляющие". Но вся эта сложная "жизнь" на поле Конвея - просто умозрительное построение, полностью зависящее от произвольных правил. Прямые аналогии его с настоящей жизнью - малопродуктивны (хотя эта игра, говорят, оказала влияние на продуктивные области). Математика отличается от этой забавы именно тем, что её построения удивительно часто имеют плодотворные использования в реальном мире. Возможно, за этим стоит божественная причина, я не знаю. Но, пока я не уверен в таком божественном платонизме, я буду спрашивать о потенциальной плодотворности каждого нового раздела математики.