иррациональность по Конвею

[a_shen]

оказывается, что среди прочего Конвей (Conway and Guy 1996 Math. Int. 2013, #3) доказал иррациональность корня sqrt(n) из целого числа, если он не целый: пусть sqrt(n) представим в виде дроби p/q с целыми числителем и знаменателем, тогда есть и другое представление sqrt(n)=n/sqrt(n)=nq/p. Значит, у sqrt(n) - следовательно, и у его дробной части (меньшей единицы, так как корень не целый!) - есть два представления со знаменателями p и q. Но если k/p=l/q<1, то, поскольку k/l=p/q, получается другое представление того же корня с меньшими числителем и знаменателем (индукция)

UPDATE: ещё одно доказательство из того же номера intelligencerа: если sqrt(n) не целое, и i=[sqrt(n)] -- его целая часть, то (sqrt(n)-i)^m ненулевое и с ростом m стремится к нулю, хотя представимо в виде a+b*sqrt(n) с целыми a и b -- что невозможно, если sqrt(n) рационален (знаменатель остаётся тем же, что у sqrt(n)).

Comments

[janatem.livejournal.com]

Вряд ли Конвей был первым. Идея-то простая, и ее часто демонстрируют в курсе школьной математики. Собственно, для доказательства не нужно ничего более хитрого, чем основная теорема арифметики.

[leblon.livejournal.com]

Вот именно. Я в математические кружки не ходил, то тем не менее классе в пятом или шестом сам додумался до этого доказательства, когда прочитал про частный случай квадратного корня из 2 в какой-то книжке.

[janatem.livejournal.com]

Я сейчас осознал, что в школе нам показывали всё-таки другую версию доказательства. Там было про корень из двух, и предлагалось подсчитать количество двоек в разложении p и q. Но я тогда же видел, что двойку можно заменить на любое простое число, и доказательство будет синтаксически таким же, а для составного нужно еще сделать маленький шажок.

[miklaszewski.livejournal.com]

В приводимом здесь доказательстве существование и единственность разложения целого числа на простые множители не используется,
вероятно, в этом и фишка
(впрочем, фишка уж очень маленькая, мне кажется).

обычное рассуждение

[a-shen.livejournal.com]

использует, если не однозначность разложения на множители, то как минимум тот факт, что произведение двух чисел, не кратных простому n, ему не кратно. Это обычно доказывается (если не ссылаться на разложение на множители) с помощью алгоритма Евклида - а в рассуждении Конвея деление с остатком используется только один раз, и то почти незаметно, с помощью разговоров о дробной части!

Re: обычное рассуждение

[brem.livejournal.com]

Интересно, кстати, можно ли подобное рассуждение провести для какого-нибудь неевклидова кольца.

[stzozo.livejournal.com]

Я думал, это еще древние греки доказали.

разумеется, ещё

[a-shen.livejournal.com]

древние греки это знали, и однозначность разложения на множители они знали (и есть много разных работ, в которых пытаются восстановить, какие доказательства были им известны - например, один из авторов говорит, что это доказано для чисел, меньших 17, и вопрос в том, какое такое доказательство встречается с трудностями при 17 - И.Г.Башмакова такое придумала!). Особенность рассуждения Конвея - что оно не использует однозначности разложения и даже алгоритма Евклида (а только один шаг деления!)

[rmfedorov.livejournal.com]

Мне это напоминает доказательство однозначности разложения, не использующее алгоритма Евклида: если p|ab, но не a и не b, причем p самое маленькое из возможных, а ab самое маленькое для данного p, то a,b <p, так что pc=ab, где с <p, но тогда для c делится на простое q<p, и имеем p|(a/q)b или p|a(b/q).

[(Anonymous)]

В update n используется в разных смыслах, видимо.

конечно,

[a-shen.livejournal.com]

спасибо за бдительность

[rezoner.livejournal.com]

Мы же это в школе доказывали. В первом параграфе Фихтенгольца дано для двух, и легко распространяется на любое целое число.

конечно -

[a-shen.livejournal.com]

но тут обходятся без разложения на множители и без алгоритма Евклида...

второе д-во

[(Anonymous)]

дословно проходит для корня любой целой степени, нет?

Re: второе д-во

[a-shen.livejournal.com]

ну, не дословно, там будет уже несколько базисных векторов, комбинации которых с целыми коэффициентами берутся, но да (и из него тоже можно извлечь что-то о точности приближения корней рациональными числами)