оказывается, что среди прочего Конвей (Conway and Guy 1996 Math. Int. 2013, #3) доказал иррациональность корня sqrt(n) из целого числа, если он не целый: пусть sqrt(n) представим в виде дроби p/q с целыми числителем и знаменателем, тогда есть и другое представление sqrt(n)=n/sqrt(n)=nq/p. Значит, у sqrt(n) - следовательно, и у его дробной части (меньшей единицы, так как корень не целый!) - есть два представления со знаменателями p и q. Но если k/p=l/q<1, то, поскольку k/l=p/q, получается другое представление того же корня с меньшими числителем и знаменателем (индукция)

UPDATE: ещё одно доказательство из того же номера intelligencerа: если sqrt(n) не целое, и i=[sqrt(n)] -- его целая часть, то (sqrt(n)-i)^m ненулевое и с ростом m стремится к нулю, хотя представимо в виде a+b*sqrt(n) с целыми a и b -- что невозможно, если sqrt(n) рационален (знаменатель остаётся тем же, что у sqrt(n)).

Profile

a_shen

June 2017

S M T W T F S
    1 23
4567 8910
11121314151617
18192021222324
252627282930 

Syndicate

RSS Atom

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Oct. 18th, 2017 03:35 am
Powered by Dreamwidth Studios