опять двадцать пять

[a_shen]

казалось бы, не знаешь теории вероятностей - не составляй задачи. Ан нет (via Е.З.Д.):

"За­да­ние 10 № 321995. В ма­га­зи­не три про­дав­ца. Каж­дый из них занят с кли­ен­том с ве­ро­ят­но­стью 0,6. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни все три про­дав­ца за­ня­ты од­но­вре­мен­но (счи­тай­те, что кли­ен­ты за­хо­дят не­за­ви­си­мо друг от друга)."

Боюсь, что это реальное задание из каких-то ЕГЭ-материалов, увы

UPD: видно, как это получается - одни попытки оживляжа случайно оказываются корректными, другие - нет... http://studopedia.su/7_26752_zadachi-iz-bazi-ege.html

UPD2: мне казалось, что отношение к ситуации очевидно, но, видимо, его полезно сказать явно: теория вероятности является источником многочисленных недоразумений, и понимание того, что она говорит и чего она не может сказать (о реальном мире) - дело важное и запущенное, попытки же приучать школьников к (тривиальной) подстановке чисел в формулы без понимания ситуации (отсутствующего и у авторов) не только не полезны, но и откровенно вредны, они только увеличивают число людей, которые уверенно говорят глупости - доходит до того, что какое-то статистическое общество выпускает position paper, в которой на полном серьёзе разъясняет, что повторять опыт двадцать раз, пока не будет достигнуто p-value 0.05, не есть хорошо... [Понял, что и это может кому-то быть не очевидно, так что поясняю: да, так делать нельзя, и это очевидно всякому минимально грамотному человеку безо всякого статистического общества]

Comments

[taki-net.livejournal.com]

Я, для начала, просто не понимаю условия.

[a-shen.livejournal.com]

Как учил Арнольд, надо подумать, "чего эти <.....> могли хотеть". Здесь это было обычным оживляжем такого формального вопроса - если три независимых события имеют вероятность 0.6 каждое, какую вероятность имеет их пересечения? Но если не знать теории вероятностей, а только помнить, что там есть слово "независимый", то и получаются такие нелепые пояснения, не отличающие независимого захода клиентов (пуассоновский поток, условно говоря) от независимости занятости

[proxfessor.livejournal.com]

Разве не 0,6^3?

[a-shen.livejournal.com]

Это так, если независимы события "продавец i занят". Но в описанной ситуации "клиенты заходят независимо друг от друга" при любой разумном понимании этого слова занятость одного продавца увеличивает вероятность того, что будет занят другой (следующий зашедший клиент пойдёт не к первому, а ко второму). Разве что предполагается, что продавцы в разных отделах и каждый клиент заранее выбрал ровно один отдел, который он хочет посетить...

[yakov-a-jerkov.livejournal.com]

Нужно было продавцов в разные магазины поместить, по-моему. Даже если бы в задаче написали, что продавцы заняты независимо друг от друга, это бы странно выглядело.

[alevaj.livejournal.com]

Просто в условие вкралось несколько лишних слов. Нужно читать:

В ма­га­зи­не три про­дав­ца. Каж­дый из них занят с ве­ро­ят­но­стью 0,6. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни все три про­дав­ца за­ня­ты од­но­вре­мен­но.

тогда

[a-shen.livejournal.com]

условий недостаточно

[akopyan.livejournal.com]

У меня вопрос из квантовой физики русского языка:
как можно в случайный момент быть занятым не одновременно?

[nivanych.livejournal.com]

Я могу ошибиться, но мне кажется, что в русском языке, "момент времени" означает мааленький, но всё-таки отрезок времени, а не точку.

Не могу удержаться

[(Anonymous)]

Саша, привет!
Мне кажется, что везде так. Тема вероятностей сложная (в большой степени именно из-за терминологии, делающей бессмысленные тексты похожими на осмысленные), и в ней ошибаются даже профессиональные математики. По-моему её не надо преподавать в школе. Для примера, вот задачка из Израильского экзамена на атестат зрелости, дававшаяся лет 5 назад:

В стране А люди делятся на честных (80%) и лжецов (20%). Графолог определяет Ч/Л с вероятностью 75%. Некоторая фирма, для пущей надежности, нанимает на работу только людей прошедших тест у трех независимых графологов. Какова вероятность, что случайно выбраный человек, пройдя тест окажется лжецом?

Особая пикантность состояла в том, что после того как минпросу объяснили почему его официальное решение ошибочно, они согласились принимать как их неправильное, так и правильное решение.
Илья Т.

Re: Не могу удержаться

[a-shen.livejournal.com]

всё-таки хорошо, что нашёлся кто-то, кто смог что-то объяснить минпросу. Но вообще я не понимаю, какое тут может быть "правильное" решение, даже если оставить в стороне вопрос о том, что такое "независимый графолог" - есть две вероятности ошибки того и другого рода (счесть честного лжецом и наоборот), а не одна.

проблема, по-моему, не в том, что теория вероятностей сложна, а в том, что традиционно задачи и пособия составляют безграмотные люди

Re: Не могу удержаться

[salas.livejournal.com]

Правильное решение — объяснение, почему здесь недостаточно данных?

Re: Не могу удержаться

[chortadsky.livejournal.com]

Простите, а по условию задачи графологов можно считать людьми (то есть, теми самыми, из которых 80% честные, а 20% лжецы)?

-----
Поясню суть своего вопроса.

Если мы предполагаем, что графолог может быть лжецом, то это означает, что в таком случае диагностирует (думает) графолог одно, а в заключении пишет противоположное.

Соответственно, вероятность того, что некий лжец успешно пройдет тест некоего графолога (то есть, результат одного конкретного независимого опыта) складывается из двух ситуаций:
а) графолог честный, но ошибся (0,8 * 0,25)
б) графолог лжец, но верно вычислил лжеца (просто инвертировал заключение) (0,2*0,75)


В то же время если бы мы рассматривали графологов как некие идеально честные программы/автоматы и т.п., то мы рассматривали бы исключительно ситуацию "а".

---
В задании четко не сказано ни одно, ни другое (хотя казуса могли бы легко избежать, просто сказав "...независимых честных графологов...").

Поэтому формула и результат зависят от прочтения задачи. По умолчанию считаю более правильным первый вариант.

по-моему, корректно

[alexey muranov (from livejournal.com)]

По-моему, задача достаточно корректна (но достаточно сложна). Получается, что в среднем в каждый момент времени в магазине находится 1,8 покупателя. Неужели из этого нельзя найти долю времени, когда в магазине находится более 2 покупателей, допуская какое-нибудь естественное распределение приходов и уходов? (Покупателей может скапливаться как угодно много, тогда они становятся в очередь.) Ответа не знаю.

Re: по-моему, корректно

[a-shen.livejournal.com]

что за странные конспирологические теории? естественно, авторы всего лишь хотели "оживить" задачу про возведение в куб 0.6^3 на уровне своего понимания, или в этом есть какие-то сомнения?

Re: по-моему, корректно

[alexey muranov (from livejournal.com)]

Нет, я написал ерунду: в среднем в каждый момент времени в магазине находится 1,8 покупателя, занятого с продовцом. А ещё может собираться очередь.

[xgrbml.livejournal.com]

Давай и содержательно выскажусь.

В этих простеньких текстовых задачах с антуражем из теории вероятностей имеются всем молчаливо принимаемые условности, аналогичные условностям в текстовых задачах на движение по водоемам, в которых никто не собирается вдаваться в тонкости гидродинамики или что от Н. Новгорода до Астрахани на плоту не доплывешь, потому как через шлюз не пропустят (да и в других общепризнанных типах текстовых задач условностей не меньше). Так и тут: вот есть три независимых события, каждое с вероятностью 0,6, какими средствами этого можно добиться с тремя продавцами - а нам не важно, сказано независимые, значит независимые. Дело пустяковое, и говорить-то тут, собственно, не о чем.

Тогда я тоже!!!

[alexey muranov (from livejournal.com)]

Ну уж нет: я тоже когда-то был школьником, и я был бы не в восторге, если бы мне пробовали впарить "гробовую" задачу под видом простенькой, и требовали бы неправильный ответ. Как раз по умолчанию в этой задаче три события очевидно зависимы.

Конечно, можно добавить в условие задачи, что они независимы. Но тогда от человека требуется либо отсутствие понимания условия, либо, наборот, очень абстрактное мышление, чтобы представить трёх независимых сферических продавцов в вакууме :). Представить сферический плот на водоёме по-моему проще.

Re: Тогда я тоже!!!

[alexey muranov (from livejournal.com)]

Извините, поправлюсь: мне сходу не очевидно, что три события зависимы, но и обратное не очевидно.

[a-shen.livejournal.com]

см. update

[mnvyy.livejournal.com]

Так нет же трех независимых событий. Примерно как в геометрии дать задачу: найдите площадь треугольника со сторонами 10, 5, 2. И ведь найдут, что характерно, очень многие.

[rwalk.livejournal.com]

Если воспринимать условие дословно, то эта задача - упражнение на стандартную теорию очередей. Упоминание о том, что клиенты заходят независимо может быть интерпретировано только как то, что они образуют пуассоновский поток с параметром, который (за счет произвола при выборе единицы времени) можно считать равным ‎1. О времени обслуживания ни слова не говорится, так что его можно считать или детерминированным (равным константе D) или имеющим экспоненциальное распределение с параметром ‎λ=1/D (вполне стандартное предположение в таких случаях). Условие про 60% означает, что D=0.6*3=1.8. В результате получаем или модель M/D/3 или модель М/М/3 из теории очередей с соответствующими параметрами. Про модели такого типа все известно. В частности, можно явно посчитать стационарную вероятность того, что в системе не меньше трех клиентов. Я не вижу никаких оснований для того, чтобы она была равна 0.6*0.6*0.6, но не вижу и никаких априорных аргументов, которые бы доказывали это неравенство без всяких вычислений.

В оправдание составителей хочу заметить, что, как показывает практика, 95% людей, использующих теорию вероятностей или статистику, делают это совершенно не отдавая себе отчета в своих действиях. Так что ход мысли составителей - это, увы, реальность нашей жизни :)

По существу заданных вопросов

[clovis3.livejournal.com]

Пусть каждый продавец тратит время T на одного посетителя, и за время T в магазин заходит в среднем x посетителей. Посетители появляются "по Пуассону", то есть вероятность того, что за время T в магазин зашли N посетителей, равна

P(N) = exp(-x) x^N / N!

Зашедший посетитель выбирает свободного продавца случайным образом.

Предположим для простоты, что x<<1. Тогда вероятность того, что в данный момент времени занят какой-то продавец, приблизительно равна вероятности того, что за предыдущее время T в магазин зашёл один посетитель, то есть эта вероятность равна х. Вероятность того, что с зашедшим посетителем работает данный продавец, равна 1/3, таким образом вероятность, что в данный момент времени занят данный продавец, равна х/3.

Все три продавца заняты одноврменно, если в предыдущее время T в магазин зашли три посетителя (ввиду малости х, возможностью очередей можно пренебречь, так как вероятность очереди будет пропорциональна минимум х^4). Следовательно, вероятность одновременной занятости всех троих примерно равна х^3/3!, что в 9/2 раза больше, чем куб вероятности занятости данного продавца.

[57ded.livejournal.com]

Мне кажется, что если бы в условии было три магазина (в каждом по одному продавцу), то задача была бы вполне корректна.

[clovis3.livejournal.com]

... и при этом бы каждый покупатель твёрдо знал, в какой магазин он идёт. В общем, главное, чтобы покупатель знал, к какому продавцу он обращается.